Lettre 490 : M. de Joullieu à Pierre Bayle
Monsieur
Il seroit honteux à ceux qui aiment les mathematiques, de ne pas profiter des moiens, que vostre travail leur fournit de les perfectioner, dans le temps que les autres sciences en reçoivent des avantages considerables : et mesme, quoique cela semble reservé particulierement aux grands genies ; les autres à mon avis ne doivent pas tout à fait quitter la partie, puisques ils peuvent avoir autant de passion pour leur avancement, que les esprits du premier ordre, et que d’ailleurs on n’est pas sans exemple, que souvent sans y penser, on donne sujet à ceux qui en sont capables, de faire des decouvertes importantes. C’est ce qui m’a poussé à vous communiquer quelques pensées sur la demonstration que demande l’habile mathematicien dont vous parlez dans vostre dernier journal [1].
La proposition qu’il falloit demontrer est, comme vous sçavez, cellecy. Etant donné un multiple de quelque nombre que ce soit au dessous de 10 si on multiplie son premier chifre par la difference du nombre simple à 10 et qu’ensuite on adjoute le produit au second chifre du multiple ce qui en viendra sera ou un moindre multiple[,] ou le nombre simple [2].
Je crois que voicy la demonstration qu’on en peut donner.
Soit AB quelque nombre que ce soit, dont le premier chifre A vault 2 choses, la premiere un certain nombre d’unites, si on le considere sans le nombre B qui le suit [3], et la seconde un pareil nombre de dixaines à cause du nombre B qui le suit ; lequel B ne passera icy que pour un nombre simple moindre que 10 : que ce nombre AB soit multiple d’un nombre simple D, qui soit moindre que 10 : puis que D est supposé moindre que 10[,] nous pouvons certainement assurer qu’il est autant de fois dans A que A vault de dixaines[,] au lieu que B etant moindre que 10 et pouvant être aussy bien plus petit que plus grand[,] nous n’en pouvons rien affirmer universellement [4] et donc au lieu que nous concevons A comme multiplié par 10 nous / nous [ sic] le concevons comme multiplié [par] le nombre D, et par la difference du mesme D à 10, ce qui (par[ai]t-il) sera egal à A multiplié par 10 ; nous aurons 2 parties, dont la premiere sera le nombre D puis autant de fois que A a d’unitez ; c’est à dire que cette partie ser[a] un multiple de D : et la seconde sera la difference du mesme D à 10 prise aussy autant de fois que A a d’unitez [5] : si donc, au lieu de A multiplié par 10[,] nous substituons la seconde de ces 2 parties, sans avoir egard à la 1 ere [6] ; ce sera la mesme chose que si du nombre multiple AB premierement donné nous • ôtions un autre, qui contient autant de fois D que A a d’unitez [7] ; mais il est evident que si d’un multiple nous ôtons un autre multiple, ce qui en reste doit être un moindre multiple[,] donc si du nombre AB multiple de D nous ôtons autant de fois D que A a d’unitez ; c’est à dire en multipliant A par la difference de D à 10, et en substituant le produit en la place des dixaines signifiée[s] par A ; il est evident que ce qui en restera sera un moindre multiple de D [8].
Par le moyen de cette demonstration on satisfera aisement à toutes les questions, que l’on peut faire sur ce sujet.
Car d’abord vous voyez pourquoy couper le nombre en 2 car comme tout multiple a 2 parties dont l’une est plus grande que le nombre dont il est multiple et l’autre peut être ou plus ou moins grande[,] il est evident qu’il faut prendre la 1 ere partie puisques il n’y a qu’elle sur qui on puisse operer de la mesme façon dans quelque multiple que ce soit et laisser la seconde comme elle est [9].
Ensuite on void la raison d’où vient qu’un multiple, qui a plus de 2 chifres [10] peut etre divisé en 2 parties de differentes manieres, car ne pouvant affirmer que le nombre simple soit contenu autre part, que dans les chifres qui valent des dixaines ; on void assez que dans un multiple, qui a plus de 2 chifres et qui par consequent en a davantage qui valent des dixaines[,] je peus dire que le nombre simple est contenu dans la 1 ere et dans le 1 er et le 2 d [11][ ;] ainsi dans 651 multiple de 7[,] comme il y a plusieurs chifres qui valent des dixaines je peus affirmer que 7 est contenu dans les 60 dixaines que le 1 er chifre 6 signifie et ainsi le diviser en 6 et 51 ou que 7 est contenu dans les 65 dixaines que vaul[t] 65 ce qui le fera diviser en 65 et 1 ou enfin qu’il est contenu dans les 5 dixaines que vault le 5 et ainsi on aura une 3 eme division en 601 et 5 et ainsi [12] je peus le retrancher dans la 1 ere division[,] 60 fois dans la seconde[,] 65 ou 5 seulement dans la troisieme et • ce qui restera de ces soustractions doit etre toujours multiple selon nostre principe que si d’un multiple on retranche un multiple le reste doit [être] multiple[.] / On decouvrira enfin l’origine de ceste maniere differente d’adjouter, qui se rencontre quand on multiplie le premier chifre d’un multiple par la difference de son simple à 10 : car pour ne point sortir de nostre exemple, dans 651 si on le divise en 6 et 51 ou qu’on multiplie 6 par 3 difference de 7 à 10, on adjoutera le produit 18 à 51[,] en consequ[ence] on adjoute 5 à 8 selon la valeur et on aura 23 et on adjoute 23 au dernier chifre 1 selon l’ordre ce qui donnera 231 ; mais on verra que ce n’est que l’effet d’un 0 qui se rencontrera toujours à la fin de la multiplication du premier chifre par la difference [13][,] car voulant ôter de 651 autant de fois 7, que le premier chifre du multiple, à sçavoir 6 vault de dixaines, nous trouverons qu’il en vault 60, donc au lieu de le multiplier par 10 ce qui feroit 600 ; nous le multiplierons par 3 difference de 7 à 10[,] ce qui nous donnera 180, que nous substituerons en la place de 600 en y adjoutant 51 dont il viendra 231 ou le 8 semblera adjouté au 5 selon la valeur et le 1 selon l’ordre quoique veritablement ils soyent adjoutez tous de la mesme maniere.
Cette raison s’etend jusques sur les nombres qui sont au dessus de 10 ; car ayant 64 multiple de 16[,] voyant que • le premier chifre peut aisement être divisé en 2[,] l’on prend la moitié 3 et en mesme temps la difference de 16 à 20 qui est 4 et ayant multiplié cette difference par la moitié il en vient 12, qui adjouté • à 4 donne 16 moindre multiple. Il y a quelque chose à changer quand le multiple a plus de 2 chifres, ce qu’il est aisé de voir [14].
Comme les questions, que vous nous proposez de la part de ce Monsieur, montrent qu’il est un des plus subtils mathematiciens qu’il y ayt ; je le prierois de trouver l’origine et la demonstration d’une autre propriete des multiples du nombre 9 ; qui, quoi qu’elle paroisse la mesme, que la precedente en differe pourtant beaucoup, et qui est que dans les multiples où il y a plus de 2 chifres, on n’a qu’à adjouter le 1 er au dernier pour avoi[r] un moindre multiple[,] ainsi dans 6561 multiple de 9 si vous adjoutez 6 à 1 vous avez 567 moindre multiple et dans 567 adjoutant le premier chifre • 5 au dernier 7 vous avez 72 aussy moindre multiple [15].
Votre tres humble et tres obeissant serviteur
A Monsieur/ Monsieur Henry Des Bordes libraire/ demeurant dans le Kalver Straat/ proche le Dam/ A Amstredam •
Notes :
[1] La lettre de Joullieu, mathématicien parisien, devait paraître dans les NRL, février 1686, art. IV : il y propose une solution à un problème soumis par un mathématicien anonyme dans les NRL, novembre 1685, art. II. Une annotation de la main de Bayle indique que ce « mémoire » porte « sur les nombres multiples en 1686 et sur les doutes de Mr Fontenelle » – ce qui constitue une attribution fiable de l’article initial. Joullieu est inconnu des spécialistes de l’histoire des mathématiques au siècle. Il pourrait s’agir d’un professeur de mathématiques privé, comme il en existait beaucoup à cette époque. Voir A. Le Dividich, « L’enseignement des mathématiques en France (1600-1670) », in École nationale des chartes. Positions des thèses soutenues par les élèves de la promotion de 1996 pour obtenir le diplôme d’archiviste paléographe (Paris 1996), p.201-209.
[2] Notons, selon l’usage et comme le fait l’auteur plus bas, ce nombre "AB", où B représente le chiffre des unités et A celui des dizaines. Le nombre vaut donc 10A+B. Soit D<10 le multiplicateur de l’énoncé. On a par hypothèse :
10A+B=kD, avec k entier.
La proposition s’énoncerait aujourd’hui ainsi :
(10-D)A+B peut s’écrire k’D avec k’<k, entiers.
La démonstration en serait immédiate, car :
(10-D)A+B = 10A+B - DA = kD - DA = (k-A)D et évidemment k-A<k. CQFD.
Bien entendu, nos présentations modernes écrasent les difficultés conceptuelles auxquelles pouvaient se heurter les auteurs du siècle ; elles n’ont pour but que de permettre au lecteur d’aujourd’hui de suivre les calculs.
[3] En d’autres termes, on peut considérer le chiffre A seul et il vaut A, ou bien considérer que A est le nombre de dizaines et alors il vaut 10A.
[4] L’auteur veut dire qu’on peut essayer de diviser 10A par D parce que D<10, alors qu’on ne peut diviser en général B par D parce que les données du problème ne nous disent pas si B<D ou si B>D.
[5] C’est dire, en phrases, que 10A = DA + (10-D)A.
[6] C’est-à-dire (10-D)A.
[7] C’est-à-dire remplacer 10A+B par (10-D)A+B.
[8] C’est le raisonnement que nous avons décrit dans la n.2.
[9] Il rappelle qu’on ne sait pas par hypothèse si B<D ou B>D, donc que pour étudier les multiples de D, il faut travailler seulement sur l’expression 10A.
[10] Il suppose ici que A n’est plus un chiffre, mais un nombre (désignant les dizaines) qui peut être > 10.
[11] L’exemple suivant fait comprendre ce qu’il veut dire, voir la n.12.
[12] On a 651 = 7 . 93.
Ses trois décompositions s’écrivent respectivement comme suit :
651 = 60 . 10 + 51
651 = 65 . 10 + 1
651 = 5 . 10 + 601.
[13] Il fait ici A=60, B=51 et D=7. La décomposition 651 = 60 . 10 + 51 s’écrit 10A+B. On a (10-D)=3, donc : (10-D)A = 3 . 60 = 180, donc (10-D)A + B = 3 . 60 + 51 = 180 + 51 = 231.
Les expressions comme « adjoute 5 à 8 selon la valeur » et « l’effet d’un 0 » signifient que 51 ne doit pas être ajouté à 18 mais à 18 . 10.
[14] Ici A=6, B=4, D=16, donc 64 = 10A+B = 4D. Posons A=2A’ (donc A’=3), son énoncé peut alors s’écrire : si 20A’+B est multiple de D (avec 10<D<20), alors (20-D)A’+B est un moindre multiple de D. C’est une variante très simple de sa proposition de départ.
[15] Ce sont des propriétés usuelles de 9. Il enlève le premier chiffre, à savoir 6, qu’il ajoute au dernier, à savoir 1, il trouve donc 7 et met celui-ci à la place du dernier chiffre, ce qui donne 567.
Dans le second cas, il y a une retenue : 5 est enlevé et ajouté à 7, ce qui donne 12, donc il obtient 60+12=72.
Il est facile de voir que ces manipulations donnent des moindres multiples de 9. Appelons pour cela, de façon générale, le nombre « PQRS » (6561 dans son exemple), où P, Q, R et S sont des chiffres (<10). Le nombre en question vaut donc :
1000 P + 100 Q + 10 R + S
= 999 P + 100 Q + 10 R + S + P.
Le nombre transformé (567 dans son exemple) est alors 100 Q + 10 R + S + P.
Or le nombre de départ est par hypothèse multiple de 9, mais 999 P l’est évidemment aussi, donc la différence aussi et elle est moindre, etc.
